Линейная алгебра Системы линейных уравнений

Начала линейной алгебры

Определители

Рассмотрим теперь систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

 . (4)

Введем определение. Определителем произвольной квадратной матрицы третьего порядка   называется сумма шести слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение трех элементов матрицы, выбираемых по следующему правилу: три произведения элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах двух треугольников: , берутся со знаком "+", а три произведения элементов, стоящих на второй диагонали и в вершинах двух других треугольников: , берутся со знаком "-". Определитель третьего порядка обозначается так:

.

Например,

 

 

Решая систему (4), например методом Гаусса, можно получить равенства

 D×x1=D1; D×x2=D2; D×x3=D3, (5)

где

 

 .

Из формул (5) видно, что если D¹0, то единственным образом определяется решение системы:

 .

Решая квадратные системы линейных уравнений 4-го, 5-го или любого более высокого порядка, можно получить формулы, аналогичные формулам (1), (2) или (5).


Математика примеры решения задач