Линейная алгебра Системы линейных уравнений

Начала линейной алгебры

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Рассмотрим квадратную систему

 . (1)

У этой системы коэффициент a11 отличен от нуля. Если бы это условие не выполнялось, то чтобы его получить, нужно было бы переставить местами уравнения, поставив первым то уравнение, у которого коэффициент при x1 не равен нулю.

Проведем следующие преобразования системы:

1)поскольку a11¹0, первое уравнение оставим без изменений;

2)вместо второго уравнения запишем уравнение, получающееся, если из второго уравнения вычесть первое, умноженное на 4;

3)вместо третьего уравнения запишем разность третьего и первого, умноженного на3;

4)вместо четвертого уравнения запишем разность четвертого и первого, умноженного на 5.

Полученная новая система эквивалентна исходной и имеет во всех уравнениях, кроме первого, нулевые коэффициенты при x1 (это и являлось целью преобразований 1 – 4):

  . (2)

Можно доказать, что замена любого уравнения системы новым, получающимся прибавлением к данному уравнению любого другого уравнения системы, умноженного на любое число, является эквивалентным преобразованием системы.


Математика примеры решения задач