Линейная алгебра Системы линейных уравнений

Начала линейной алгебры

Производная

Ниже приводится таблица производных элементарных функций.

f(x)

f(x)

f(x)

C

0

cosx

-sinx

x

1

lnx

1/x

tgx

1/cos2x

xn

nxn-1

ax

axlna

arcsina

1/(2)

arccosa

-

1/x

-1 / x2

sinx

cosx

arctgx

1/(1+x2)

Приведем теперь основные свойства производной.

1. Если функция имеет производную в точке, то она непрерывна в этой точке.

2. Если существует f¢(x) , и С ‑ произвольное число, то функция  имеет производную: (Cf(x))¢=Cf¢(x).

3. Если существуют f¢(x) и g¢(x), то функция S(x)=f(x)+g(x) имеет производную: S¢(x)=f¢(x)+g¢(x).

4. Если существуют f¢(x) и g¢(x), то функция P(x)=f(x)g(x) имеет производную: P¢(x)=f¢(x)g(x)+f(x)g¢(x).

5. Если существуют f¢(x) и g¢(x) и при этом g(x)¹0, то функция D(x)=f(x)/g(x) имеет производную: D¢(x)=(f¢(x) g(x)f(x) g¢(x))/g2(x).

В любом курсе математического анализа доказывается теорема о производной сложной функции. Мы ограничимся лишь ее формулировкой.

Пусть функция g(x) имеет производную в точке x, а функция f(z) имеет производную в точке z=g(x). Тогда сложная функция F(x)=f(g(x)) имеет в точке x производную F¢(x)=f¢(z) g¢(x).

Приведем примеры вычисления производной сложной функции.

 


Математика примеры решения задач