Линейная алгебра Системы линейных уравнений

Начала линейной алгебры

Производные высших порядков.

Может оказаться что функция f¢(x), называемая первой производной, тоже имеет производную (f¢(x))¢. Эта производная называется второй производной функции f(x) и обозначается f¢¢(x). Если f есть координата движущейся точки и является функцией времени, то мгновенная скорость точки в момент времени t равна f¢(t), а ускорение равно f¢¢(t).

Вторая производная также может быть функцией, определенной на некотором множестве. Если эта функция имеет производную, то эта производная называется третьей производной функции f(x) и обозначается f¢¢¢(x).

Если определена n-я производная f(n)(x) и существует её произ­водная, то она называется (n+1)-й производной функции f(x): f(n+1)(x)=(f(n)(x))¢.

Все производные, начиная со второй, называются производными высших порядков.

Формула Лагранжа

Если функция непрерывна на замкнутом промежутке [a,b] и дифференцируема на открытом промежутке (a,b), то можно найти такую точку c, принадлежащую промежутку (a,b), для которой справедливо равенство:

 f(b)-f(a)=f¢(c)(b-a). (1)

Эта формула называется формулой конечных приращений Лагранжа. Проведем наглядное обоснование этой формулы. Возьмем на графике функции f(x) точки A(a;f(a)) и B(b;f(b)). Проведем через эти точки прямую AB. Проведем также прямую L, параллельную прямой AB, так, чтобы она не пересекала график функции f(x) на промежутке (a,b). Сохраняя параллельность L и AB, будем "надвигать" прямую L на график f(x) до тех пор, пока прямая L не коснется графика f(x) в некоторой точке c промежутка (a, b). Геометрическую точку касания обозначим буквой M, а через MN обозначим касательную к графику f(x), параллельную прямой AB. Очевидно, угловые коэффициенты прямых MN и AB (то есть тангенсы углов наклона прямых к оси абсцисс) равны. Угловой коэффициент прямой MN равен f¢(c), а угловой коэффициент прямой AB равен (f(b)f(b))/(b-a), и справедлива формула:

  .

Отсюда сразу получается формула (1). На приведенном рисунке видно, что могут существовать другие точки, принадлежащие промежутку (a,b), в которых касательные к графику функции f(x) параллельны прямой MN. Производную функции f(x), вычисленную в любой из этих точек, можно подставить в правую часть формулы (1) вместо множителя .

Сформулируем теорему о монотонности функции. Если f¢(x)>0 на промежутке (a;b), то на (a;b) функция f(x) возрастает. Если f¢(x)<0 на промежутке (a;b), то на (a;b) функция f(x) убывает.

Докажем эту теорему. Пусть t1 и t2— любые числа из промежутка (a;b), причем t2>t1. Тогда по теореме Лагранжа можно указать такое число c из промежутка (t1;t2), для которого справедливо равенство f(t2)–f(t1)=f¢(c)(t2–t1). Если f¢(x)>0 для всех x из промежутка (a;b), то f¢(c)>0, и из условия t2>t1 следует, что f(t2)–f(t1)>0. Таким образом, возрастание функции f(x) на промежутке (a;b) доказано. Аналогично доказывается вторая часть теоремы.


Математика примеры решения задач