Линейная алгебра Системы линейных уравнений

Начала линейной алгебры

Экстремум функции двух переменных.

Точка M0(x0,y0) является точкой максимума (минимума) функции z=f(x,y), если найдется такая окрестность точки M0, что для всех точек M(x,y) из этой окрестности выполняется неравенство f(x,y)<f(x0,y0) (f(x,y)> f(x0,y0)).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

src="ris src="ris

Сформулируем необходимое условие экстремума. Если в точке экстремума существует первая частная производная (по какому-либо аргументу), то она равна нулю.

Точки экстремума дифференцируемой функции (то есть функции, имеющей непрерывные частные производные во всех точках некоторой области) надо искать только среди тех точек, в которых все первые частные производные равны нулю.

Там, где выполняется необходимое условие, экстремума может и не быть (здесь полная аналогия с функцией одной переменной).

Пример:

z=xy; zx¢=y; zy¢=x; zx¢(0,0)=0; zy¢(0,0)=0.

Обе частные производные в точке (0,0) обращаются в 0. Однако точка (0,0) не является точкой экстремума, так как в ней самой z=0, а в любой её окрестности есть точки, где z(x,y)>0 (это точки, лежащие внутри первого и третьего координатных углов), и есть точки, где z(x,y)<0 (это точки, лежащие внутри второго и четвертого координатных углов).

Для ответа на вопрос, является ли точка области определения функции точкой экстремума, нужно использовать достаточное условие экстремума. Ниже приводится его формулировка.

Пусть zx¢(x0,y0)=0 и zy¢(x0,y0)=0, а вторые частные производные функции z непрерывны в некоторой окрестности точки (x0,y0). Введем обозначения: A=zxx¢¢(x0,y0); B=zxy¢¢(x0,y0); C=zyy¢¢(x0,y0); D=AC-B2.

Тогда, если D<0, то в точке (x0,y0) экстремума нет.

Если D>0, то в точке (x0,y0) экстремум функции z, причем если A>0, то минимум, а если A<0, то максимум.

Если D=0, то экстремум может быть, а может и не быть. В данном случае требуются дополнительные исследования.

Исследование функции двух переменных на экстремум сводится к следующему: сначала выписываются необходимые условия экстремума:

 zx¢(x,y)=0;

  zy¢(x,y)=0

которые рассматриваются как система уравнений. Ее решением является некоторое множество точек. В каждой из этих точек вычисляются значения D и проверяется выполнение достаточных условий экстремума.


Математика примеры решения задач