Математика примеры решения задач контрольной работы

УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №1

 Задача 2. Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояний до точки А(3; 0) и до прямой x=12 равно числу =0,5. Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.

Решение. Пусть М(х; у)—текущая (произвольная) точка искомого геометрического множества точек. Опустим перпендикуляр МВ на прямую х=12 (рис. 2). Тогда B(12; у).

По условию задачи По формуле (1) из предыдущей задачи

Тогда

Полученное  уравнение представляет собой эллипс вида

Определим фокусы эллипса F1(-c; 0) и F2 (c; 0). Для эл­липса справедливо равенство b2= а2—с2, откуда

c2= a2-b2 =9 и c=3.

То есть, F1(-3; 0) и F2 (3; 0)— фокусы эллипса (точки F2 и А совпадают).

Эксцентриситет эллипса

Задача 3. Составить уравнение линии, для каждой точки которой ее расстояние до точки A(3; —4) равно расстоянию до прямой у=2. Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.

Решение. М(х; у)—текущая точка искомой кривой. Опустим из точки М перпендикуляр MВ на прямую у =2 (рис. 3). Тогда В(x; 2). Так как МА=МВ, то

=  или

.

Полученное уравнение определяет параболу с вершиной в точке О'(3; —1). Для приведения уравнения параболы к простейшему (каноническому) виду, положим Тогда в системе координат Х'О'У´ уравнение пара­болы принимает следующий вид У' = . В системе координат Х'О'У´ строим параболу.

Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве