Математика примеры решения задач контрольной работы

ЗАДАНИЕ 8. Найти объем тела , ограниченного поверхностями

а) ;  б) ; в)  .

РЕШЕНИЕ.

 Изобразим тело, ограниченное двумя концентрическими сферами с центрами в начале координат и радиусами 8 и 12 и (“снизу”) конусом ; от полученного таким образом тела плоскостями  и  “отрезается” заданное условием задачи тело (V) (рис.77) .

Рис.77

  Объем тела может быть вычислен по формуле . Рассматривая тело в декартовой системе координат, видим, что оно не является ни -, ни -, ни -цилиндрическими брусами (см. рис.72); разбиение тела на  z- цилиндрические бруски является само по себе не простой задачей, не говоря уже о вычислении повторных интегралов. “Конструкция” тела  такова, что вычисление тройного интеграла удобнее провести в сферической системе координат r,, связанной с декартовой системой координат формулами:

.

Якобиан такого преобразования . Для объема получим:

.

Чтобы тройной интеграл записать в виде повторного, перейдем в уравнениях ограничивающих тело поверхностей к сферическим координатам. Следует использовать соотношения

.

Уравнение   переходит в , уравнение   в ; для уравнения конуса  получим последовательно: ,   и , откуда  и ; уравнение плоскости  переходит в уравнение , уравнение плоскости  в  , т.е. в . Таким образом,

.

  Так как подынтегральная функция представляет собой произведение функций, каждая из которых зависит только от одной переменной, а пределы интегрирования постоянны, то повторный интеграл представляет собой просто произведение трех интегралов

==;

.

Для объема тела получим

.

Ответ. .