Математика примеры решения задач контрольной работы

ЗАДАНИЕ 21. Многочлен f(x)=3x4 22x3 + 60x2 73x + 39 по степеням x представить в виде многочлена по степеням (x 2).

РЕШЕНИЕ.

Известно, что для дифференцируемой 4 раза в точке x0 функции f(x) существует лишь один многочлен, приближающий её в окрестности этой точки с точностью до слагаемого о((x x0)4) это многочлен Тейлора обозначим его : f(x) = + о((x x0)4). В случае, когда сама f(x) является многочленом 4-й степени, получим f(x) = , то есть о((x x0)4) = 0. Поэтому коэффициенты искомого многочлена можно найти с помощью формулы Тейлора

=

= f(x0) + f ¢(x0)( x x0) +( x x0)2 +( x x0)3 +( x x0)4.

В нашем случае x0=2. Вычисляем f(x0) и производные функции f(x) в точках x и x0: f(2) = 5; f ¢( x) = 12 x3 66 x2 + 120 x 73,  f ¢(2) = 1;

f ¢¢( x) = 36x2 132x + 120, f ¢¢(2) = 0; f ¢¢¢( x) = 72x 132, f ¢¢¢(2) = 12;

( x) = 72, (2) = 72.

Ответ. f(x)= 5 ( x 2) + 2( x 2)3 + 3( x 2)4.

ЗАДАНИЕ 22. Найти многочлен, приближающий заданную функцию f(x) в окрестности точки x0 с точностью до о((x x0)3): f(x)=sin(ex 1), x0 = ln .

РЕШЕНИЕ. Применяем формулу Тейлора

f(x)= f(x0) + f ¢(x0)( x x0) +( x x0)2 +( x x0)3+ о((x x0)3).

Вычисляем последовательно: f(ln ) = sin(1) = sin1;

f ¢( x) = cos(ex)×ex , f ¢(ln ) = cos(1) = – cos1;

f ¢¢( x) = sin(ex1)×e2x cos(ex1)×ex, f ¢¢(ln ) = –2sin1 – cos1;

f ¢¢¢( x) = 3×sin(ex1)×e2x + (ex e3x)cos(ex1),

f ¢¢¢(ln ) = –32sin11–2cos1.

Ответ. f(x)=  sin1–cos1(xln ) –(xln )2 –

(xln )3 + о((xln )3). Вычислив приближённо число ln  и коэффициенты, запишем ответ в форме

f(x)= 0,842–1,697(x–1,145)–5,001(x–1,145)2–3,027(x–1,145)3+о((x–1,145)3).