Решение типового варианта контрольной работы

УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЯ

 Пример 5. Вычислить .

 Пример 1. В каких точка парабола   имеет наибольшую и наименьшую кривизну? Найти центр и радиус кривизны в этих точках.

Пусть дана функция . Находим область определения .

 Пример 1. Написать уравнения касательной и нормали к гиперболе   в точке , в которой касательная параллельна прямой  (рис.2).

 Решение. Так как касательная , то , но . Из этого условия найдем координаты  точки касания М. . Решив уравнение , найдем . Тогда из уравнения кривой находим: . Таким образом, получаем две точки касания: . Уравнение касательной в точке  или . Уравнение нормали в точке  или . Уравнение касательной в точке  или . Уравнение нормали в точке  или .

 Замечание. Кривая  гипербола, состоящая из двух ветвей. На каждой из ее ветвей лежит по одной точке касания, поэтому задача имеет два решения (рис.2).

  Пример 2. Написать уравнение касательной и нормали к кривой   в точке .

 Решение. Координаты точки касания здесь известны: . Поэтому надо найти . Найдем производную  по формуле . Итак, . Найдем значение параметра , соответствующее точке касания . Для этого решим систему уравнений  относительно t при 

 Таким образом, точке касания   соответствует значение параметра . Отсюда . Так как , то это значит, что касательная перпендикулярна к оси ОХ и ее уравнение . Нормаль имеет уравнение .

 

 

  Приведем примеры раскрытия неопределенностей по правилу Лопиталя.

 Пример 1. Вычислить .

 Решение. При  каждая из функций  и

стремится к нулю, поэтому имеет место неопределенность вида . Предел находим по правилу Лопиталя: 

.

 

 Так как , то воспользуемся теоремой о пределе произведения:

  Здесь дважды использовалось правило Лопиталя.

 Пример 2. Вычислить .

 Решение. При  числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают, поэтому неопределенность имеет вид .

 .

  Здесь возможны два случая. Если , то , поэтому . Если же , то , поэтому .

 Пример 3. Вычислить .

 Решение. При  будет  и , поэтому неопределенность имеет вид . Прежде чем применить правило Лопиталя,  преобразуем ее к виду  следующим образом: . Поэтому

.

  Пример 4. Вычислить .

 Решение. При  будет  и , поэтому имеет место неопределенность вида . Преобразуем ее к неопределенности  вида

  следующим образом:  . Поэтому   =

 


Примеры решения типового по математике