Решение типового варианта контрольной работы

ЗАДАЧА 6

Постановка задачи: Пользуясь определением, доказать, что функция   непрерывна в точке .

Постановка задачи: Вычислить предел функции, где  и  бесконечно малые функции при , содержащие линейное выражение под знаком радикала.

Постанова задачи: Вычислить предел , где  и  бесконечно малые функции при

Постановка задачи: Вычислить предел , где ,

Вычислить предел функции: .

Решение. Здесь имеем неопределенность вида , и предел сводится ко второму замечательному пределу.

Исследовать функцию и построить ее график.

Постановка задачи: Вычислить продел последовательности, где  и

Пример решения:

1. Преобразуем выражение под знаком предела так, чтобы использовать второй замечательный предел, т. е. выделим единицу:

, где

  - бесконечно малая последовательность при

Так как  при  , то

2. Если   и , то

Следовательно, если существует предел

  , то окончательно имеем

Пример: Вычислить предел  

Решение:

1. При   выражение под знаком предела представляет собой степень, основание которой стремится к единице:

, а показатель – к минус бесконечности:

Преобразуем выражение под знаком предела так, чтобы использовать второй замечательный предел:

 

2. Так как , то окончательно имеем

Ответ:

ЗАДАЧА 7

Постановка задачи: Пользуясь определением предела функции в точке, доказать, что

План решения:

1. Число  называется пределом функции  в точке , если  . Это значит, что  неравенство  имеет решение

2. Зададим произвольное положительное , для того, чтобы найти, сначала найдем множество  такое, что ,

т. е. решим неравенство . Затем определим  такое, что . Тогда будем иметь

.

Это означает, что

3. Записываем ответ в таком виде:

 

Пример: Доказать, что

Решение:

1. Число 8 называется пределом функции  в точке,если

2. Для того, чтобы найти , найдем множество такое, что

, т.е. решим неравенство 

,

,

,

,

,

,

,

  Следовательно .

Ответ:  .


Примеры решения типового по математике