Решение типового варианта контрольной работы

Задание 5.

Методические указания и решения примерных задач контрольной работы

II способ решения метод подстановки: метод Бернулли

Получим знакочередующийся ряд. Признак Лейбница

Находим частные производные первого порядка

Найти . Решение. Для раскрытия неопределенности  в этом случае, нужно разложить числитель и знаменатель на множители и сократить дробь на общий множитель.

Задана функция  и два значения аргумента .

5. ,  с точностью до 0,0001

Решение:

Задача решается по определенному алгоритму:

Подинтегральную функцию надо разложить в степенной ряд.

Этот ряд интегрировать в указанных пределах.

Вычисляют несколько последовательных первых членов полученного числового ряда (с одним лишним знаком).

Оценивают погрешность полученного приближенного вычисления. Обычно ограничиваются несколькими первыми слагаемыми. Допускаемая ошибка (остаток ряда) наиболее просто оценивается для знакочередующегося ряда, т.к. ошибка при замене суммы сходящегося знакочередующегося ряда суммой нескольких его первых членов меньше абсолютного значения первого из отброшенных членов.

1) Ряд для данной подинтегральной функции:

  получим из ряда Маклорена биномиальной функции

который сходится в интервале .

Для данной функции  соответствует x.

Тогда

2) Интегрируем в пределах от 0 до

3) 

4) Согласно свойству сходящегося знакочередующегося ряда для вычисления данного интеграла с точностью до 0,0001 достаточно взять сумму двух первых членов ряда.

Ошибка этого приближенного значения меньше 0,00008 (первое слагаемое отброшенного ряда).

Итак, .

Ответ: 0,4969.

Задание 6.

6.

Подинтегральная функция  может быть заменена ее рядом Маклорена с использованием ряда для cos x.

;

таким образом разложение функции в ряд Маклорена выполнено.

1)

2) Интегрируем в пределах от 0 до 0,3

вычисляем по формуле Ньютона-Лейбница

3)

Таким образом .

4) Погрешность меньше, чем 0,0000006 (первое слагаемое отброшенного ряда).

Ответ:

II способ:

Подинтегральную функцию  можно разложить по степеням x, используя формулу тригонометрии :

, а далее использовать формулу  (она имеется в учебнике).

Тогда x заменим на  получим ряд:

.

В цифрах аналогия с предыдущим способом.

Ответ:


Примеры решения типового по математике