Решение типового варианта контрольной работы

 Пример 2. Исследовать функцию , построить график функции, а также графики  и  (рис.5).

 Решение. 1. , то есть .

 2. Функция всюду непрерывна, следовательно, не имеет точек разрыва, а также вертикальных асимптот.

 3. Точки пересечения с осями координат

  Получаем точки .

 4. .

Функция нечетная, ее график симметричен относительно . Дальнейшее исследование проводим на промежутке .

 5. Функция непериодическая.

 6. Производные функции , .

Итак, ; .

 7. Находим экстремумы функции. Из уравнения ,  . Из уравнения  следует, что . Таким образом, получаем три критические точки: .

а)  При  не существует, поэтому экстремума нет.

б) При , следовательно, в этой точке функция имеет минимум, равный . Получаем точку минимума . Так как функция нечетная, то   будет точкой максимума.

 8. Находим точки перегиба. . В промежутке, здесь кривая выпукла. В промежутке , здесь кривая вогнута. Итак,   - точка перегиба.

 9. Находим уравнение  наклонной асимптоты.

. Так как  не существует, то график функции 

асимптот не имеет.

Найдём точки пересечения данных кривых. Для этого необходимо решить систему уравнений

 


Решив её, найдём координаты точек  и . Тогда, очевидно, что площадь фигуры

Кривая, ограничивающая область, может быть задана в полярных координатах. Точнее, рассмотрим площадь фигуры, ограниченной лучами , а также кривой  (предполагаем, естественно, что функция  на промежутке   интегрируема). Площадь данного криволинейного сектора находится по формуле .

В задании VI требуется вычислить длины кривых, заданных тремя различными способами.

Если кривая задана в прямоугольной системе координат, уравнением , где , то ее длина находится по формуле

Если кривая задана параметрическими уравнениями

то длина дуги кривой вычисляется по формуле

Отметим, что здесь, естественно, предполагается, что функции ,  и их производные  и  непрерывны на промежутке .

В том случае, когда кривая задана уравнением в полярных координатах , причём функция  и её производная   непрерывны на промежутке , то


Примеры решения типового по математике