Решение типового варианта контрольной работы

 

Найти координаты центра тяжести плоской однородной пластины D, ограниченной линиями  

Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение типового варианта контрольной работы. Задание 1. Найти общее решение дифференциальных уравнений.

Задание 2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. Так как производная в данном случае является функцией, зависящей только от переменной x, то его решение может быть получено в результате последовательного интегрирования

Задача 8.5. 1) Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода:   где

Решение. Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода может быть сведено к вычислению определенного интеграла, причем способ такого сведения зависит от представления кривой интегрирования L. Если L задана уравнением   где функция  имеет непрерывную производную  для , то

 

Если L задана параметрически:  где функции имеют непрерывные производные , для  то

 

Если L задана в полярных координатах уравнением   и функция имеет непрерывную производную  для , то

 

В рассмотренном примере используется явное задание кривой L уравнением . Поэтому, используя первый способ сведения интеграла по длине дуги к определенному, получим:

  2) Вычислить работу силы  при перемещении материальной точки по кривой  от точки А(0;0) до точки В(1;1).

Решение.  Работа переменной силы  по перемещению материальной точки по плоской кривой L c уравнением  вычисляется с помощью криволинейного интеграла 2-го рода по координатам

 

который сводится к определенному интегралу с учетом способа задания кривой L. В приведенном примере кривая L задана явно уравнением . Поэтому, по аналогии с переходом к определенному интегралу в предыдущем примере, достаточно заменить:

.  Получим:

Задача 8.6. а) Вычислить площадь части сферы , вырезанной цилиндром  и плоскостью 

Решение. Область D является кругом (рис.2), поэтому решаем задачу в полярных координатах. Тогда Элемент площади плоской области dS выражается в полярных координатах в виде: . Полярное уравнение окружности, ограничивающей область интегрирования, будет иметь вид:

.  Так как область интегрирования содержит начало полярной системы точку О на своей границе, то вычисляем площадь поверхности  с помощью поверхностного интеграла 1-го рода:

Рис. 1 Рис. 2

б) Найти поверхностный интеграл 2-го рода  где замкнутая поверхность  состоит из внешней стороны части поверхности параболоида  а также из части плоскости

Решение. Применяем формулу Остроградского-Гаусса к поверхностному интегралу 2-го рода I:

В векторной форме формула Остроградского-Гаусса имеет вид: 

 

где в левой части – поток П векторного поля  через замкнутую поверхность а

 

Но тогда  где векторное поле  имеет вид: 

  Но  

Рис. 3.

 Следовательно,  


Примеры решения задач по математике