Решение типового варианта контрольной работы

Пример 12. Найти длину дуги кривой

Решение.

Найдем сначала неопределенный интеграл. Сделаем замену переменной (подстановка Эйлера):

  (*)

Выразим x через t.

 

Подставляем в интеграл, учитывая выражение (*) для корня.

Теперь по формуле Ньютона-Лейбница получаем результат:

В задании VII требуется вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций. Причем функция может быть задана в декартовых, параметрических или полярных координатах.

Если объем V тела существует и  есть площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси Ох в точке x, то

.

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции   , где  - непрерывная однозначная функция, равен

Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой , , вращается вокруг оси Оу, то объем тела вращения вычисляется по формуле:

.

Если криволинейный сектор, ограниченный кривой  и лучами  вращается вокруг полярной оси, то объем тела вращения равен:

Рассмотрим типовые задачи:

Пример 13. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями  и .

Решение. Т.к. область значений функции  - , то фигура, ограниченная заданными линиями будет лежать в верхней полуплоскости.

Найдём абсциссы точек пересечения кривых. Для этого решим систему уравнений:

Имеем , .

Тогда, объем тела:

Пример 14. Фигура, ограниченная кривой ,   и осью Ox, вращается вокруг оси Оy. Найти объем тела вращения.

Решение. Если t=0, то x=4, y=0, если t=, то x=0, y=0. Причем  и . Следовательно, объем тела вращения равен:

Пример 15. Фигура, ограниченная линией , вращается вокруг полярной оси. Найти объем тела вращения.

Решение. Фигура симметрична относительно полярной оси, поэтому для вычисления объема достаточно вращать ее верхнюю половину .


Примеры решения типового по математике