Решение типового варианта контрольной работы

Пример2. Найти область сходимости ряда .

Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы

Задача 8. В вычислительный центр коллективного пользования с тремя компьютерами поступают заказы от предприятий на вычислительные работы

Вычисление двойного интеграла в прямоугольных координатах Задача 1. Вычислить , если область  ограничена линиями .

 Задача 3. Дан двойной интеграл:. Восстановить область интегрирования  и изменить порядок интегрирования.

Задача 5. Вычислить двойной интеграл , если  ограничена окружностью .

Ряды

Решение типового варианта контрольной работы.

Пример 1. Исследовать на сходимость числовые ряды:

Решение.

В данном случае  

Вычислим

Следовательно, ряд расходится.

Поскольку в записи общего члена ряда есть показательная функция , то используем признак Даламбера.

Для рассматриваемого ряда

;

Вычислим

Следовательно, по признаку Даламбера, исходный ряд сходится.

Так как в записи общего члена ряда есть факториал (), то используем признак Даламбера. Для исследуемого ряда

Вычислим

В пределе получили бесконечность, следовательно, исследуемый ряд расходится.

Воспользуемся радикальным признаком Коши. Здесь  

Вычислим

Полученное значение больше 1, следовательно, ряд расходится.

Исследуем данный ряд с помощью интегрального признака Коши. Составим соответствующий интеграл и вычислим его

Интеграл сходится, следовательно, исследуемый ряд сходится.

Составим ряд, эквивалентный исходному, оставив в числителе и знаменателе лишь старшие степени n:

Полученный ряд эквивалентен исходному, так как

Таким образом, исходный ряд и ряд  сходятся и расходятся одновременно. Т.к. ряд   сходится, следовательно, исходный ряд также сходится.

Так как , то

.

Ряд  расходится , следовательно, исходный ряд также расходится.

Оценим общий член ряда:

.

Ряд

Ряд   сходится , следовательно, эквивалентный ряд  также сходится. Т.к. из сходимости большего ряда следует сходимость меньшего, то исходный ряд сходится.


Примеры решения задач по математике