Решение типового варианта контрольной работы

Предел последовательности

Пример 4. Найти предел .

Пример 7. Найти предел 

Пример 16. Последовательность  определяется следующим образом

 Пример 18. Найти предел .

Пример 25. Вычислить предел функции  .

Пример 29. Вычислить предел функции

Пример 38. Доказать, что функция  непрерывна в точке а=2(найти ).

Определение. Число а называется пределом последовательности , если для любого  существует номер N такой, что при всех n>N выполняется неравенство  

 (    ).

Пример 1. Доказать, что  (указать ).

Решение. Неравенство  из определения предела последовательности, которое мы должны решить относительно n, принимает вид  Пусть . Тогда, откуда , следовательно, в качестве N можно взять . Здесь - целая часть числа , то есть наибольшее целое число, не превосходящее . Если, например, , то условиям задачи отвечают натуральные числа , то есть

Пример 2. Доказать, что  (указать ).

 Решение. Неравенство  принимает вид  Последнее неравенство преобразуется в квадратное. Однако вычисления можно упростить. Неравенство будет выполняться, если справедливо следующее двойное неравенство:  Его левая часть заведомо выполняется при . Правая часть выполняется при . Следовательно, условиям задачи отвечают числа  Отсюда 

При вычислении предела  в случае  и  (т.е. в случае неопределённости вида ) или в случае,   и т.д. нельзя сразу воспользоваться арифметическими свойствами предела. Следует так преобразовать выражение , чтобы можно было использовать свойства предела и раскрыть неопределённость, т.е. найти предел. Полезным для этого в случае  бывает вынести в числителе и знаменателе старшие степени за скобки или разделить числитель и знаменатель на старшую степень одного из них.

Пример 3. Найти предел .

Решение. Преобразуем исходное выражение, выполнив действия в числителе и знаменателе:

. Разделив числитель и знаменатель на их старшую степень , получим . Поскольку  то по свойствам предела получаем

Вообще предел отношения двух многочленов переменной  можно находить по правилу

   (1)

так что в решении последнего примера можно было обойтись без деления на .

При вычислении пределов используют формулу бинома Ньютона

  (2)

Также следует знать формулу  ( «эн-факториал»- произведение натуральных чисел от 1 до n; например, ).


Примеры решения типового по математике