|
Приложения двойного интеграла
Задача 9. Вычислить объем тела, ограниченного эллиптическим параболоидом
и плоскостями
.
Вычисление физических характеристик плоских фигур Масса плоской пластинки σ с переменной плотностью
:
Вычисление площадей плоских фигур
Исходя из геометрического смысла двойного интеграла, можно заметить, что
( в декартовых координатах),
(в полярных координатах).
Задача 7. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
.
Решение. Построим область
. Из рис. 17 видно, что в этой задаче целесооб-
разно внешний интеграл вычислить по переменной у, а внутренний – по х:
y
2 y=x+2
![]()
-2 0 x
![]()
-2
Рис. 17
.
Ответ:
.
Задача 8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
.
Решение. Построим область
(рис.18). Ее ограничивают кардиоида
и окружность
. Площадь области
находим как раз-
ность площадей двух фигур:
– площадь фигуры, ограниченной кардиоидой, и
– площадь круга.
0 а 2а
Рис. 18
.
Площадь круга найти легко, ведь радиус его, как видно из его уравнения
и рисунка 18,
. Значит,
.
Итак,
.
Ответ:
.