Решение типового варианта контрольной работы

Приложения двойного интеграла

 Задача 9. Вычислить объем тела, ограниченного эллиптическим параболоидом  и плоскостями . 

Вычисление физических характеристик плоских фигур Масса плоской пластинки σ с переменной плотностью :

Вычисление площадей плоских фигур

 Исходя из геометрического смысла двойного интеграла, можно заметить, что

  ( в декартовых координатах),

  (в полярных координатах).

 Задача 7. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

.

  Решение. Построим область . Из рис. 17 видно, что в этой задаче целесооб-

разно внешний интеграл вычислить по переменной у, а внутренний – по х:

 y

 2 y=x+2  

 -2 0 x

  

 -2

 

 

 Рис. 17

  .

 Ответ: .

 Задача 8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

.

  Решение. Построим область  (рис.18). Ее ограничивают кардиоида  и окружность . Площадь области  находим как раз-

	ность площадей двух фигур: – площадь фигуры, ограниченной кардиоидой, и – площадь круга.

 

 0 а 2а 

 Рис. 18 

 

.

  Площадь круга найти легко, ведь радиус его, как видно из его уравнения

и рисунка 18, . Значит, .

 Итак, .

 Ответ: .

Примеры решения задач по математике