Решение типового варианта контрольной работы

 Тройной интеграл

 Задача 14. Вычислить объем тела, ограниченного параболоидами ,  и плоскостями  

Вычисление физических характеристик пространственных фигур Масса тела  с переменной плотностью :

Пример 1. Вычислить интеграл , где .

Пример 5. В двойном интеграле  расставить пределы интеграции в том и другом порядке, если область D – треугольник с вершинами в точках O(0,0), A(1,0), B(1,1).

 Основные понятия

 Пусть тело  ограничено поверхностями , причем обе функции имеют общую область определения . Помимо этого, тело   ограничено цилиндрической поверхностью с направляющей ACBDA и образующими, параллельными оси OZ (рис. 24). Тогда объем тела выражается формулой .

 Найдем границы изменения переменных  x, y, z в области . При этом области   и  будем предполагать правильными. Из рис. 24 следует, что 

. Пусть ,  тогда в области  переменные изменяются в следующих границах:

  .

  

 z z

 z

  M(x, y, z)

 (ρ, φ, z)

  0  0 z

 a A y φ ρ y

  x y x 

 b C  D y M0(ρ, φ, 0)

 B

  x x

 Рис. 24 Рис. 25

 Поэтому .

 В тех задачах, где уравнения границ  содержат выражение , вычисление следует проводить в цилиндрических координатах:  (рис. 25).


Пусть , тогда . Из рис. 25 следует, что . Дифференциал объема в цилиндрических координатах имеет вид , поэтому объем в цилиндрических координатах выражается формулой (рис. 26):

Рис. 26

 Вычисление объемов тел


Примеры решения задач по математике