Решение типового варианта контрольной работы

Пример 4. Вычислить объем тела, ограниченного плоскостями z=0, y+z=2 и цилиндром .

Пример 1. Найти массу круглой пластины D  с поверхностной плотностью ρ(х,у)=3-х-у.

Пример 3. Найти координаты центра тяжести однородной пластины плотности , ограниченной параболой и прямой х+у=2.

Геометрические приложения двойного интеграла.

Как было показано в п.1.1,объем цилиндрического тела находится по формуле:

 , (7)

где z=f(x,y) – уравнение поверхности, ограничивающей тело сверху. Площадь S плоской области D на плоскости Оху вычисляется по формуле:

  (8)

Если поверхность задана уравнением z=f(x,y), , то площадь поверхности вычисляется по формуле:

   (9)

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

 х=0 .

Решение: Область приведена на рис.24.Ее проекция на оси Ох есть отрезок [0,1] и площадь фигуры вычисляем по формуле (8):

Рис.24

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой

Решение: Область D является сложной, поэтому введем замену переменных

  и находим . Тогда

На плоскости Ouv область Ω является кругом, ограниченным окружностью , так что площадь круга равна 64π. Находим площадь области D:

Пример 3. Вычислить площадь петли кривой .

Решение: Под петлей будем подразумевать область, ограниченную данной кривой и расположенную в первой четверти . Воспользуемся обобщенными полярными координатами x=a·rcosφ, y=b·rsinφ, в результате чего уравнение кривой принимает вид  или . В эллиптических координатах соответствующая область Ω задается неравенствами , при этом ,т.е. .


Примеры решения задач по математике