Дифференциал функции Производная степенной функции Правила дифференцирования

Производные некоторых элементарных функций

Дифференциальное исчисление

Дифференциал функции

Главная линейная часть приращения функции ADx в определении дифференцируемости функции

Df=f(x) - f(x0)=A(x - x0)+o (x – x0), x®x0

называется дифференциалом функции f(x) в точке x0 и обозначается

df(x0)=f¢(x0)Dx= ADx.  Нанесение размеров Инженерная графика Машиностроительное черчение

Дифференциал зависит от точки x0 и от приращения Dx. В каждой точке дифференциал представляет собой линейную функцию от приращения Dx.

Если в качестве функции рассмотреть f(x)=x , то получим dx=Dx, dy=Adx. Это согласуется с обозначением Лейбница .

Геометрическая интерпретация дифференциала как приращения ординаты касательной.

[an error occurred while processing this directive]

Геометрическая интерпретация производной Предельное положение хорды, соединяющей точки (x0 , f(x0 )), (x , f(x )) графика, при x® x0 называется касательной к графику функции f(x ) в точке x0 a=arctg=arctg f ¢ (x0).

Основные правила дифференцирования

Производная сложной функции Если существуют f¢(x0), g¢(x0) и x0=g(t0), то в некоторой окрестности t0 определена сложная функция f(g(t)), она дифференцируема в точке t0 и

Вычисление производной обратной функции Пусть f непрерывна и строго монотонна на [a,b]. Пусть в точке x0Î(a,b) существует f¢(x0) ¹ 0, тогда обратная функция x=f -1(y) имеет в точке y0 производную, равную

Производные элементарных функций

Функции заданные параметрически . Если x, y непрерывны на [ a,b ] и x(t) строго монотонна на отрезке [a , b] (например, строго монотонно возрастает), то на [a,b] , a=x( a), b=x(b) определена функция f(x)=y(t(x)), где t(x) – обратная к x(t) функция. График этой функции совпадает с графиком функции

Производные и дифференциалы высших порядков

Производные высших порядков Пусть f(x) определена на (a,b) и имеет в некоторой окрестности точки x0Î(a,b) производную g(x)=f¢(x). Если в точке x0 существует g¢( x0), то она называется производной второго порядка от f в точке x0 и обозначается f ¢¢(x0). Производной n-го порядка называется производная от производной (n-1)- го порядка

Вычисление производных функций, заданных неявно Для вычисления производной y¢(x) функции, заданной неявно уравнением (1) достаточно продифференцировать тождество F(x, f(x))=0 по переменному x. В результате такого дифференцирования всегда будет получаться соотношение вида A(x,y)+B(x,y)y¢=0 , (2)

Формула Лейбница

Дифференциалы высших порядков

Инвариантность формы дифференциала первого порядка Замечание. (Важный частный случай, когда свойство инвариантности наблюдается и для старших дифференциалов ). В случае, когда внутренняя функция суперпозиции линейна, свойство инвариантности сохраняется для дифференциалов произвольных порядков.


Вычислим частные производные функции двух переменных