Свойства производных Дифференциал примеры

Пример Найдём вторую производную $ y''_{xx}$ функции, заданной параметрически:
$\displaystyle x=\sin t^3;\; y=\cos t^2.$
Найдём сначала первую производную как функцию параметра $ t$ по формуле $ y'_x=\dfrac{y'_t}{x'_t}$: [an error occurred while processing this directive]
$\displaystyle y'_x=\dfrac{-\sin t^2\cdot2t}
{\cos t^3\cdot3t^2}=
-\dfrac{2\sin t^2}{3t\cos t^3}.$
Теперь положим $ z=y'_x$ и найдём производную от функции $ x=\sin t^3;\; z=-\dfrac{2\sin t^2}{3t\cos t^3},$ заданной параметрически. Имеем: $ x'_t=\cos t^3\cdot3t^2$ (эта производная была найдена нами раньше, при вычислении $ y'_x$) и
$\displaystyle z'_t=-\dfrac{(4t\cos t^2)(3t\cos t^3)-(2\sin t^2)(3\cos t^3-9t^3\sin t^3)}%
{9t^2\cos^2t^3}.$
Поэтому
\begin{multline*}
y''_{xx}=z'_x=\dfrac{z'_t}{x'_t}=
-\dfrac{(4t\cos t^2)(3t\co...
...^3-6\sin t^2\cos t^3+18t^3\sin t^2\sin t^3}%
{27t^4\cos^3t^3}.
\end{multline*}

Тот же самый результат можно было бы получить по формуле (4.17). Аналитическая геометрия

Производные высших порядков

Рассмотрим функцию $ y=f(x)=\sin x$.

Найдём вторую производную функции $ f(x)=\sin^3x$

Производные функции, заданной параметрически

Пусть зависимость между $ x$ и $ y$ задана параметрически следующими формулами: $\displaystyle x=\ln(1+t^2); y=\mathop{\rm arctg}\nolimits t.$

Найдём выражение для второй производной $ y''_{xx}$ через параметр $ t$.


Вычислим частные производные функции двух переменных