Свойства производных Дифференциал примеры

Пример  Найдём предел $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x-x}{x^3}$. (Это предел отношения двух бесконечно малых. Заметим, что $ \sin x$ не является множителем, так что его нельзя заменить на эквивалентную величину $ x$; если бы мы всё же сделали это, то сразу получили бы в числителе 0, и "ответ" равнялся бы 0.) Применим правило Лопиталя и получим, что
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x-x}{x^3}=
\lim\limits_{x\to0}\dfrac{(\sin x-x)'}{(x^3)'}=
\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\cos x-1}{3x^2},$
в предположении, что последний предел существует. Этот последний предел можно найти, заметив, что $ \cos x-1\sim-\dfrac{x^2}{2}$ при $ x\to0$, и заменив числитель. Однако можно пойти и другим путём. Мы снова получили отношение двух бесконечно малых, к которому снова применим правило Лопиталя:
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\cos x-1}{3x^2}=
\lim\limits_{x\to0}\d...
...c{-\sin x}{6x}=
-\frac{1}{6}\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=-\frac{1}{6},$
поскольку $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1$ (это первый замечательный предел). Найти координаты центра тяжести плоской однородной пластины D, ограниченной линиями 
Итак, обоснование результата таково:
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{(\cos x-1)'}{(3x^2)'}=
\lim\limits_{x\to0}\dfrac{-\sin x}{6x}=
-\frac{1}{6},$
откуда по теореме 5.5
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\cos x-1}{3x^2}=-\frac{1}{6},$
то есть
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{(\sin x-x)'}{(x^3)'}=-\frac{1}{6},$
откуда, в свою очередь, снова по теореме 5.5
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x-x}{x^3}=-\frac{1}{6}.$

Как правило, при вычислениях эти рассуждения "обратного хода" не приводят в явной форме для экономии места, но, строго говоря, их всегда нужно иметь в виду, когда после цепочки переходов по правилу Лопиталя мы получаем какой-либо ответ к исходному примеру на вычисление предела.  

Производная функции, заданной неявно

Возьмём то же уравнение $ e^{xy}+x\cos y=0$ и найдём производную левой части

Производные и дифференциалы

Найдём производную функции

$ y=\cos(2x+dfrac{\pi}{4})$

$ y=\sin^2\ln^3(x^2+4)$

$ y=x^2e^{-2x}$

$ y=\sin^2\ln^3(x^2+4)$

Зависимость между $ x$ и $ y$ задана формулой $\displaystyle x^3y+xy^2+y^3-3x+5y+3=0.$

Найдём производную функции $ y=\cos(2x+dfrac{\pi}{4})$.

Четыре теоремы о дифференцируемых функциях

Функция $ f(x)=x^2$ имеет на отрезке $ [-1;1]$ точку минимума $ x_0=0$

Функция $ f(x)=\vert x\vert$ имеет на отрезке $ [-1;1]$ точку минимума $ x_0=0$

Рассмотрим при $ x\to\infty$ две бесконечно больших: $ f(x)=x+\sin x$ и $ g(x)=x$

   


Вычислим частные производные функции двух переменных