Четыре теоремы о дифференцируемых функциях


  Пример   Найдём производную функции $ y=\cos^52x$. Здесь функция имеет вид $ y=u^5$, с промежуточным аргументом $ u=\cos2x$, который, в свою очередь, является сложной функцией. Поэтому
\begin{multline*}
y'=5u^4u'_x=5(\cos2x)^4(\cos2x)'_x=5\cos^42x(-\sin2x)(2x)'=\\
=-5\cos^42x\sin2x\cdot2=-10\cos^42x\sin2x.
\end{multline*}
    
        Пример   Найдём производные ареа-функций (напомним, что ареа-функции -- это функции, обратные к гиперболическим функциям). Ранее мы записали для них следующие формулы:
$\displaystyle \mathop{\rm arsh}\nolimits x=\ln(x+\sqrt{x^2+1});$   
$\displaystyle \mathop{\rm arch}\nolimits x=\ln(x\pm\sqrt{x^2-1})$   

(в зависимости от того, что считать главной ветвью функции $ \mathop{\rm ch}\nolimits $);


$\displaystyle \mathop{\rm arth}\nolimits x=\frac{1}{2}\ln\dfrac{1+x}{1-x};$   
$\displaystyle \mathop{\rm arcth}\nolimits x=\frac{1}{2}\ln\dfrac{x+1}{x-1}.$   

Поэтому
\begin{multline*}
(\mathop{\rm arsh}\nolimits x)'=(\ln(x+\sqrt{x^2+1}))'=
\dfr...
...1}+x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}=
\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}},
\end{multline*}
и аналогично:
\begin{multline*}
(\mathop{\rm arch}\nolimits x)'=(\ln(x\pm\sqrt{x^2-1})'=
\df...
...{\sqrt{x^2-1}}}{x\pm\sqrt{x^2-1}}=
\pm\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}};
\end{multline*}
\begin{multline*}
(\mathop{\rm arth}\nolimits x)'=(\frac{1}{2}\ln\dfrac{1+x}{1-...
...dfrac{\dfrac{2}{(1-x)^2}}{\dfrac{1+x}{1-x}}=
\dfrac{1}{1-x^2};
\end{multline*}
и аналогично:
\begin{multline*}
(\mathop{\rm arcth}\nolimits x)'=(\frac{1}{2}\ln\dfrac{x+1}{x...
...frac{\dfrac{-2}{(x-1)^2}}{\dfrac{x+1}{x-1}}=
\dfrac{1}{1-x^2}.
\end{multline*}
Последние две формулы не противоречат друг другу, так как при $ x\in(-1;1)$, а $ (\mathop{\rm arcth}\nolimits x)'=\dfrac{1}{1-x^2}$ при $ x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$.     
$ (\mathop{\rm arth}\nolimits x)'=\dfrac{1}{1-x^2}$

Производная композиции

Пусть $ y=\sin2x$, то есть $ y=\sin u$, где $ u=2x$: данная функция представлена в виде композиции функций $ \sin u$ и $ 2x$.

Решение квадратных уравнений с вещественными коэффициентами

Решите уравнение $ {x^2+2x+5=0}$ .

Символ суммирования

Сводка основных результатов о производных


Вычислим частные производные функции двух переменных