Дифференциал функции Производная степенной функции Правила дифференцирования

Дифференцирование и интегрирование рядов Фурье

Дифференцирование и интегрирование рядов Фурье

Дифференцирование рядов Фурье
Пусть f (x) является 2π-периодической кусочно непрерывной функцией, определенной на замкнутом интервале [−π, π] . Для такой функции существует разложение в ряд Фурье:
Если производная f ' (x) данной функции также кусочно непрерывна, а сама функция f (x) удовлетворяет условиям периодичности
то разложение в ряд Фурье производной f ' (x) выражается формулой
Интегрирование рядов Фурье
Пусть g (x) является 2π-периодической кусочно непрерывной функцией в интервале [−π, π] . Ряд Фурье такой функции можно проинтегрировать почленно на заданном интервале.

Разложение функции g (x) в ряд Фурье определяется выражением Математика Дифференциальные уравнения Исследование функции
Рассмотрим функцию
где .

Полагая x = 0 , мы видим, что
Следовательно, разложение в ряд Фурье функции G (x) имеет вид
где ряд в правой части получен формальным почленным интегрированием ряда Фурье функции g (x) .

В последнем выражении из-за интегрирования постоянной величины возникло "лишнее" слагаемое, зависящее от x. Поэтому, чтобы сохранить определенную симметрию с разложением в ряд Фурье исходной функции f (x) , рассмотрим функцию
Ряд Фурье функции Ф(x) будет определяться выражением
где коэффициенты Фурье связаны соотношениями

Пример: Исследовать на сходимость ряд

Рассмотрим расходящийся ряд Он получен из гармонического ряда отбрасыванием . Так как при любом , то поэтому данный ряд расходится по признаку сравнения.

Пример Найти ряд Фурье для функции sign x

Найти ряд Фурье функции , зная, что  

Найти ряд Фурье функции , если известно, что 

Исследовать процесс почленного дифференцирования ряда Фурье функции , заданной на интервале


Дифференцирование и интегрирование рядов Фурье