Дифференциал функции Производная степенной функции Правила дифференцирования

Производные высших порядков

Производная неявной функции

Пример Вычислить производную функции y(x), заданной уравнением при условии y = 1.
Решение.

Дифференцируем обе части уравнения по x (левую часть дифференцируем как сложную функцию):
     
Если y = 1, то из исходного уравнения находим
     
Подставим в уравнение (1) значения x = −1 и y = 1. В результате получаем
     
Отсюда следует, что y' = 0 при y = 1.

Пример 3 Дано уравнение окружности x 2 + y 2 = r 2 с центром в начале координат и радиусом r. Интегралы вычисление площади и обьема Математика
Найти производную y'(x).


Решение.
Продифференцируем по x обе части уравнения:
     
В данном случае мы можем получить и явное выражение для производной. Например, для верхней полуокружности, зависимость y(x) имеет явный вид . Отсюда находим, что производная равна      

Интегралы вида сводятся к интегралам от рациональных дробей с помощью универсальной тригонометрической подстановки тогда

(т.к. =[после деления числителя и знаменателя на ]= ;

Например,


Дифференцирование и интегрирование рядов Фурье