Дифференциал функции Производная степенной функции Правила дифференцирования

Производные высших порядков

Производная неявной функции

Пример Найти уравнение касательной к кривой x 4 + y 4 = 2 в точке (1;1).


Решение.
Продифференцируем обе части уравнения кривой по x:
     
Тогда . В точке (1;1) соответственно находим, что y'(1) = −1. Следовательно, уравнение касательной в данной точке имеет вид
     
(под знаком интеграла–рациональная функция аргументов ). Интегралы такого вида вычисляются с помощью замены . В частности, в интегралах вида обозначают . Если подынтегральная функция содержит корни разных степеней: , то обозначают , где n– наименьшее общее кратное чисел m,k.

Пример 2. z = x2 + y2, D(z) = R2. Найти интегралы от рациональных дробей

Очевидно, z(0; 0) = 0; z(-2; 3) = 13, z(1; 4) = 17 и т.д.

Множество значений z, каждый элемент которого соответствует определенной точке (х; y)О D(z), называется областью значений этой функции. Область значений функции z=f(х;y) принято обозначать Е(z). Так, в примере 1 Е(z)=R, а в примере 2 E(z)=[0;+Ґ ].

Функция считается заданной, если указаны множества D(z)М R2, E(z)М R и соответствие f. Причем соответствие f может быть задано, как и в случае функций одной переменной, различными способами (аналитически, таблично, графически, описанием и т.д.).


Дифференцирование и интегрирование рядов Фурье