Дифференциал функции Производная степенной функции Правила дифференцирования

Производные высших порядков

Простейшие правила дифференцирования

Производная постоянной величины.
Если f(x) = С , то

Производная функции, умноженной на постоянную величину.
Пусть k некоторая константа. Если f(x) - дифференцируемая функция, то произведение kf(x) также дифференцируемо и

Производная суммы функций.
Пусть f(x) и g(x) являются дифференцируемыми функциями. Тогда сумма двух функций также дифференцируема и
Пусть n функций f1(x) , f2(x) ,…, fn(x) являются дифференцируемыми. Тогда их сумма также дифференцируема и
Из этого и предыдущего правил следует, что производная разности функций равна разности производных при условии дифференцируемости данных функций:
Можно сформулировать более общее правило: Вычислить площадь фигуры, Дифференциальные уравнения

Производная линейной комбинации функций.

Предположим, что f(x) и g(x) являются дифференцируемыми функциями, а a и b - произвольными действительными числами. Тогда функция h(x) = af(x) + bg(x) также дифференцируема и

Во многих задачах функция  y(x) задана невным образом. Например, для приведенных ниже функций невозможно получить зависимость y(x) в явном виде.

Вычислить производную функции y(x), заданной уравнением при условии y = 1.

Найти уравнение касательной к кривой x 4 + y 4 = 2 в точке (1;1).

 

Пример Найти производную функции , где a и b - константы.

Натуральный логарифм

Логарифм по основанию e (e - трансцендентное число, приближенно равное 2,718281828...) называется натуральным логарифмом. Натуральный логарифм числа x обозначается ln x . Натуральные логарифмы широко используются в математике, физике и инженерных расчетах.

Вычислить .

Схематически изобразить график функции .

Логарифмическим дифференцированием называется метод дифференцирования функций, при котором сначала находится логарифм функции, а затем вычисляется производная от него. Такой прием позволяет эффективно вычислять производные степенных и рациональных функций.

Вычислить производную функции

Вычислить производную функции


Дифференцирование и интегрирование рядов Фурье