Дифференциал функции Производная степенной функции Правила дифференцирования

Приближённое вычисление производных

Разложим рациональную дробь $\displaystyle R(x)=\frac{5x^2+2x-1}{x^3+3x^2+2x+6}$

 

в сумму простейших дробей и вычислим $ \int R(x)\,dx$ .

Заметим, что в знаменателе этой дроби стоит многочлен $ Q(x)$ , для которого в предыдущем примере мы нашли разложение на множители: $ Q(x)=(x+1)(x^2-4x+6)$ . Поэтому сумма будет состоять из двух слагаемых: простейшей дроби первого типа, соответствующей линейному множителю $ x+1$ , и простейшей дроби третьего типа, соответствующей квадратичному множителю $ x^2-4x+6$ . Итак, вид разложения таков:

 

$\displaystyle R(x)=\frac{5x^2+2x-1}{x^3+3x^2+2x+6}=
\frac{5x^2+2x-1}{(x+1)(x^2-4x+6)}=
\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2-4x+6}:$

серия, соответствующая $ x+1=(x+1)^1$ , состоит из 1 слагаемого; серия, соответствующая $ x^2-4x+6=(x^2-4x+6)^1$ , также содержит только 1 слагаемое. Через $ A,\ B$ и $ C$ обозначены неизвестные пока постоянные.

Для нахождения этих постоянных приведём правую часть к общему знаменателю:

 

$\displaystyle \frac{5x^2+2x-1}{(x+1)(x^2-4x+6)}=
\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2-4x+6}=
\frac{A(x^2-4x+6)+(Bx+C)(x+1)}{(x+1)(x^2-4x+6)}.$

Поскольку дроби в левой и в правой частях этого равенства тождественно равны и имеют одинаковые знаменатели, то тождественно равны и их числители [an error occurred while processing this directive]

 

$\displaystyle 5x^2+2x-1=A(x^2-4x+6)+(Bx+C)(x+1).$

Это равенство верно при всех значениях $ x$ , в том числе и при $ x=-1$ . Подставим $ x=-1$ в левую и правую часть равенства и получим:

 

$\displaystyle 5\cdot(-1)^2+2\cdot(-1)-1=A((-1)^2-4\cdot(-1)+6)+(B\cdot(-1)+C)(-1+1).$

Последняя скобка равна 0, так что получаем: $ 2=A\cdot11,$ откуда

 

$\displaystyle A=\frac{2}{11}.$

Других "удобных" значений $ x$ , то есть таких, чтобы какая-либо скобка в правой части обращалась в 0, больше нет, ведь квадратный трёхчлен $ x^2-4x+6$ , как мы проверяли ранее, не имеет вещественных корней. Так что далее мы можем либо подставлять "не вполне удобные" значения $ x$ , вроде $ x=0$ , либо приравнивать друг к другу коэффициенты при одинаковых степенях $ x$ в левой и правой частях. Пойдём комбинированным путём: сначала подставим $ x=0$ (заметим, что это -- то же самое, что приравнять друг к другу свободные члены левой и правой частей):

 

$\displaystyle 5\cdot0^2+2\cdot0-1=A(0^2-4\cdot0+6)+(B\cdot0+C)(0+1).$

Это даёт нам равенство

 

$\displaystyle -1=6A+C.$

Поскольку уже известно $ A=\frac{\textstyle{2}}{\textstyle{11}}$ , получаем:

 

$\displaystyle C=-1-6\cdot\frac{2}{11}=-\frac{23}{11}.$

Наконец, приравняем коэффициенты при $ x^2$ : в левой части коэффициент равен 5, а в правой, после раскрытия скобок, он оказывается равным $ A+B$ , так что $ A+B=5$ , откуда

 

$\displaystyle B=5-\frac{2}{11}=\frac{53}{11}.$

Итак, все три неизвестных коэффициента найдены, и получено разложение

 

$\displaystyle R(x)=\frac{5x^2+2x-1}{(x+1)(x^2-4x+6)}=
\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C...
...4x+6}=
\frac{\frac{2}{11}}{x+1}+\frac{\frac{53}{11}x-\frac{23}{11}}{x^2-4x+6}.$

Теперь мы можем представить интеграл от дроби $ R(x)$ в виде:

 

$\displaystyle \int\frac{5x^2+2x-1}{(x+1)(x^2-4x+6)}dx=
\frac{2}{11}\int\frac{1}{x+1}dx+
\frac{1}{11}\int\frac{53x-23}{x^2-4x+6}dx.$

Интеграл в первом слагаемом -- табличный:

 

$\displaystyle \int\frac{1}{x+1}dx=\ln\vert x+1\vert+C.$

(Здесь и далее $ C$  -- уже не найденный выше коэффициент разложения, а произвольное постоянное слагаемое.) В знаменателе дроби во втором интеграле выделим полный квадрат:

 

$\displaystyle x^2-4x+6=(x^2-4x+4)+2=(x-2)^2+2,$

и сделаем замену $ z=x-2$ :

 

\begin{displaymath}\int\frac{53x-23}{x^2-4x+6}dx=\left\vert
\begin{array}{l}
z...
...-23}{z^2+2}dz=53\int\frac{z\,dz}{z^2+2}+83\int\frac{dz}{z^2+2}.\end{displaymath}

Последний интеграл -- табличный:

 

$\displaystyle \int\frac{dz}{z^2+2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac{z}{\sqrt{2}}+C,$

а в предыдущем интеграле нужно сделать замену $ {s=z^2+2}$ , откуда $ {ds=2z\,dz}$ и $ {z\,dz=\frac{1}{2}ds}$ , так что этот интеграл приводится к виду $ \frac{1}{2}\int\frac{ds}{s}=\frac{1}{2}\ln\vert s\vert+C$ . Итак,

 

$\displaystyle \int\frac{5x^2+2x-1}{(x+1)(x^2-4x+6)}dx=
\frac{2}{11}\ln\vert x+...
...limits \frac{z}{\sqrt{2}}+\frac{1}{11}\cdot83\cdot\frac{1}{2}\ln\vert s\vert+C.$

Учитывая, что $ z=x-2$ и $ s=z^2+2=x^2-4x+6>0$ , получаем окончательно:

 

$\displaystyle \int\frac{5x^2+2x-1}{(x+1)(x^2-4x+6)}dx=
\frac{2}{11}\ln\vert x+...
...mathop{\rm arctg}\nolimits \frac{x-2}{\sqrt{2}}
+\frac{83}{22}\ln(x^2-4x+6)+C.$

Частные производные высших порядков

Вычислим $ \frac{\textstyle{\pat^3f}}{\textstyle{\pat x_1^2\pat x_2}}$ для функции $ f$ из предыдущего примера.

Производная сложной функции

Пусть координаты $ x_1,x_2,x_3$ зависят от $ u_1,u_2$ следующим образом: $\displaystyle x_1=\sin^2u_1; x_2=\sin u_1\cos u_2; x_3=\cos^2u_2.$

Рациональные функции и их интегрирование

Разделим с остатком $ {P(x)=x^3+5x^2-2x+1}$  -- многочлен третьей степени -- на бином $ {Q(x)=x-2}$  -- многочлен первой степени:

Разложим на множители многочлен третьей степени $ {Q(x)=x^3+3x^2+2x+6}$ .


Вычислим частные производные функции двух переменных